Analyse complexe

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    : La théorie des fonctions holomorphes d'une variable

    complexe étant exposée dans des nombreux ouvrages citons par exemple le livre

     analyse réelle et complexe de Walter RUDIN et le livre de M.Cartan.Cependant nous utiliserons

    les outiles fonctionnels nécessaires à traiter les fonctions holomorphes d'une variable complexe.( Mesures complexes, contour de Jordan rectifiables ,Formules intégrales de Cauchy, formule de Green, Théorème de Rouché, Théorème de Morera, Théorèmes de résidus, Région simplement connexes, Formules intégrales de Cauchy, Théorème de Riemann,Théorème de Carathéodory, Théorèmes de lacapacité logarithmique).

     Maîtriser les méthodes des éléments de la théorie des fonctions holomorphes d'une variable complexe.

    Contenu du  module :

    Chapitre 1 : Rappels

    Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes,

    Espaces fonctionnels des fonctions holomorphe d'une variable complexe.

    Propriétés élémentaires des Représentations Conformes. (Théorème de Riemann)

    Zéros des fonctions holomorphes d'une variable complexes

    Prolongement  analytique.

    Chapitre 2 :Transformation Conforme et domaines simplement connexes

     1 Théorème de Riemann de la Transformation conforme sur un domaine simplement connexe.

    2.Potentiel Complexe et son sens hydrodynamique

    3Application des fonctions d'une variable complexe à l'hydrodynamique.

    Chapitre 3 :Zéros des fonctions holomorphes

    Produits infinis des fonctions holomorphes .

    Théorème de factorisation de Weierstrass.

    Fonctions entières et Formule de Jensen.

    Chapitre 4:

    Espaces de HardyH_p

    Fonctions sous-harmoniques.

    EspacesH  1p.

    Théorème de la meilleure approximation.

    Espaces de SmirnovHpsur le contour de Jordan rectifiables.

    Espaces de BergmanHpsur le disque unité de Jordan rectifiables.

    Espaces de Hardy sur le disque unité

    Approximations dans les espaces de Hardy. Théorèmes de la meilleure approximation.

    Polynômes orthogonaux sur les cercles unités(fondements et applications)

    Références:

    1-Analyse réelle et complexe par Walter RUDIN,Masson, Paris 1975 ISBN 2-225- 48800-7

    2- Représentations Conformes,Zeev NEHARI, Dover publication,1952,INC,NewYork, USA.

     

    
    

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    Ci joints un bouquet d'examens en analyse complexe proposés par Dr.abdelhamid REHOUMA