introduction
La masse volumique du fluide est en tout point la même : ρ = cte (fluide incompressible). Par ailleurs, on peut considérer que l'accélération de la pesanteur est une constante :
g = cte.
Par conséquent :

Et par intégration :


Soit :

Donc : p(z) = p0 + ρg(z0 − z) = p00 + ρgh où h est la hauteur de fluide sous le niveau de référence.
Un tel champ de pression, affine en z, est appelé champ de pression hydrostatique, et l'équation ci-dessus encadrée est l'équation de l'hydrostatique (équation fondamentale de la statique des fluides dans le cas particulier d'un fluide isovolume dans le champ de pesanteur).
La plupart du temps, on prendra z0 = 0 le niveau de référence correspondant à la surface libre du fluide où p0 = Pa. Pour les applications numériques, on prendra la pression atmosphérique standard : pa =1,013 105 Pa.

Exemple : Lois d'Hydrostatique
En supposant la pression atmosphérique égale à p0 = 1,013 105 Pa, on va déterminer la pression P qui régnera à l'extérieur d'un sous-marin, enfoncé et immobile, en un point situé à 38 m de profondeur. La masse volumique de l'eau est prise égale à 1 000 kg/m3. D'après la relation de l'hydrostatique, nous avons immédiatement :
p = 1,013 105 + 1000 x 9,81 x 38 = 4,74 105 Pa.
Conséquences
Les conséquences de l'équation fondamentale de l'hydrostatique sont les suivantes :
Les surfaces d'égale pression dans un fluide homogène sont des plans horizontaux (plans isobares). En effet, quand p = cte nous avons z = cte. Réciproquement la pression est
constante dans un plan horizontal quelconque.
Si nous avons deux fluides différents, de masses volumiques différentes, non miscibles, la surface de séparation est horizontale. Le fluide le plus lourd est en dessous (équilibre stable).
En particulier, la surface libre d'un liquide surmonté d'un gaz au repos (comme l'air atmosphérique) est un plan horizontal (plan où la pression est la pression atmosphérique
constante). En effet :
Soit S l'interface entre deux fluides de masses volumiques respectives ρ et ρ'. Soient A (respectivement A') et B (respectivement B') deux points distincts sur S.
On a :
p(A) = p(A') et p(B) = p(B') en vertu du principe de l'action et de la réaction,
z(A) = z(A') et z(B) = z(B') puisque ce sont les mêmes points géométriques,
p(A) − p(B) = ρg[z(B) − z(A)] et p(A') − p(B') = ρ'g[z(B') − z(A')] d'après l'équation
fondamentale de la statique.
D'où, ρg[z(B) − z(A)] = ρ' g[z(B' ) − z(A' )] soit (ρ − ρ')g[z(B) − z(A)] = 0 .
Si ρ ≠ ρ' , alors z(B) = z(A), et ceci quels que soient les points A et B. Il en résulte que, sous l'action de la gravité, la surface libre d'un liquide ou la surface de séparation de deux
liquides non miscibles en équilibre est un plan horizontal.
On en déduit le « principe des vases communicants » : dans plusieurs vases de forme quelconque, communiquant entre eux et contenant un seul liquide en équilibre, les surfaces
libres dans les différents vases sont dans le même plan horizontal.
Ce point est à la base de la mesure de la différence de pression entre deux gaz à l'aide du manomètre en U. Il suffit de mesurer la différence de niveau du liquide dans les deux
branches et de connaître la masse volumique de ce liquide .
La différence de pression pA - pB entre deux points quelconques A et B pris à l'intérieur du fluide ne dépend que de la distance verticale entre les deux points. Elle est égale au poids d'une colonne de fluide ayant comme base l'unité de surface et comme hauteur la différence de niveau entre les deux points. En effet :
pA + ρgzA = pB + ρgzB
(pB - pA) = ρg(zA - zB)
avec ρg poids volumique du fluide.
L'expérience du tonneau de Pascal en est une bonne illustration. Pascal installe au-dessus d'un tonneau un tuyau vertical très étroit et très haut (plusieurs mètres). L'implantation du
tuyau sur le tonneau est parfaitement étanche. Le tonneau étant plein d'eau, Pascal verse alors en haut du tube (depuis une fenêtre de la maison en bordure de laquelle l'expérience a
lieu) une quantité infime d'eau, suffisante pour remplir le tube : le tonneau éclate ! Cette expérience montre bien que ce qui définit la pression, ce n'est pas le poids du liquide situé au dessus, mais son poids par unité de surface.
Dans un fluide incompressible en équilibre, les variations de pression se transmettent intégralement en tout point du fluide. La différence (pB - pA) calculée précédemment reste constante quelles que soient les pressions. Si pA varie, pB varie simultanément de la même quantité. Ceci constitue le théorème de Pascal.9 Dans l'expérience du tonneau de Pascal, si la hauteur de l'eau dans le tube est h, la pression p en chaque point du tonneau a augmenté de ρgh et les forces de pression sur les parois du tonneau peuvent devenir considérables. Le tube vertical étant assez étroit, il est possible d'obtenir ce résultat en introduisant un poids d'eau très faible vis-à-vis du poids total de l'eau contenu dans le tonneau.