Introduire les bases de mécanique quantique et de relativité indispensables
pour la· compréhension de la physique
moderne. Familiariser les étudiants avec
les nouveaux concepts de la nouvelle théorie à savoir la·
notion de fonction d’onde et le principe de dualité onde - corpuscule. · Savoir
résoudre l’équation de Schrödinger dans des cas simples
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chapitre 2
2- L'atome d'hydrogène
L'atome d'hydrogène est composé de deux particules en interaction: un noyon de charge (+Ze) et un électron de charge (-e).
Vu la forte masse du noyon comparée à celle de l'électron, on peut considérer que le noyon est au repos et que l'électron interagit avec le potentiel coulombien créé par le proton.
(On peut aller au delà en travaillant dans le référentiel lié au centre de masse)
Le premier modèle réaliste de l'atome d'hydrogène, rendant compte des niveaux d'énergie, fut celui de Bohr, C'est un modèle planétaire auquel s’ajoute une condition de quantification du moment cinétique L= n ћ qui induit une condition de quantification de l'énergie.
Selon
ce modèle, les niveaux d'énergie sont donnés par: 
où
EI est l'énergie d'ionisation 13.6 eV
Les niveaux d'énergie donnés par cette relation rendent compte avec précision des spectres d'émission de l'atome et en particulier les séries de raies caractéristiques : Balmer, etc...
Le rayon a0 de la première orbite de Bohr est donné
par : 
Il est de 0.53 Å et de façon générale, les rayons des orbites sont compatibles avec la taille des atomes.
Nous attendons de la mécanique quantique une détermination plus précise des
niveaux d'énergie et une description des fonctions d'onde associées. Nous savons en effet de la chimie que ces fonctions d'onde donnent naissance aux orbitales et que leur forme et leur extension est cruciale pour la géométrie des molécules.
Le
problème est donc la recherche des valeurs propres et des fonctions propres de l'opérateur
énergie Ĥ(Hamiltonien) d'un
électron soumis au potentiel V(r) créé par le proton. Le potentiel
s'écrit (Il s'agit de l'énergie potentielle et non du potentiel électrique): 
Donc l'équation aux valeurs propres: ĤΨ=ЕΨ
Où :
Ĥ= 
+ 
s'écrit : Ψ + Ψ= ЕΨ
Et Δ=
2.1 Résolution de l’équation de Schrödinger pour L'atome d'hydrogène :
L’équation de Schrödinger en système SI et cordonnes cartésiennes est :
En
unité atomique (u.a)
: 
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Chapitre 01
1- Les postulats de la mécanique quantique
· Postulat 01 :
Toute particule, ou plus généralement tout système quantique, est complètement défini à l'instant t par une fonction complexe ψ (r,t) appelée fonction d'onde. Toutes les informations accessibles concernant le système à l'instant t se déduisent de la connaissance de ψ à cet instant.
· Postulat 02 :
P(r,t) = ψ*(r,t) ψ(r,t) est la densité de probabilité de présence de la particule au point r et à l'instant t.
P(r,t) dr est la probabilité de trouver (si on effectue une mesure) la particule dans un élément de volume dτ autour du point r.
ψ (r,t) est aussi appelée amplitude de probabilité de présence.
Si une particule existe, elle est quelque part dans l'espace et donc la probabilité de la trouver en explorant tout l'espace est égale à 1. En d'autre terme, l'intégrale étendue sur tout l'espace de la densité de probabilité de présence est égal à 1.
· Postulat 03 :
A chaque grandeur physique A (position, énergie, moment cinétique), correspond un opérateur Ấ agissant dans l'espace τ. Les seuls résultats de mesure possibles de la grandeur physique A sont les valeurs propres de l’opérateur Ấ.
Si Ấ est l'opérateur associé à A, les nombres an tels que:
où φn(r) est une fonction, sont les seuls résultats de mesure possibles.
(Les opérateurs sont à priori indépendants du temps)
On admettra assez facilement que les résultats de mesure de grandeurs physiques ne peuvent être que des grandeurs réelles. Cela impose aux valeurs propres des opérateurs associés d'être réelles. En conséquence, les opérateurs associés aux grandeurs physiques doivent être hermitiens.
· Postulat 04 :
Soit
un système décrit par la fonction d'onde : La probabilité que
le résultat de la mesure de la grandeur physique A soit, à l'instant t, ap
est ׀cp(t)׀2.
· Postulat 05 :
Si le résultat de la mesure de la grandeur physique A effectuée à l'instant t0 sur le système décrit par la fonction d'onde ψ(r,t0) est ap alors, immédiatement après la mesure, la fonction d'onde n'est plus ψ(r,t0) mais elle est égale à la fonction propre φp associée à ap.
· Postulat 06 :
L'évolution spatio-temporelle de la fonction d'onde obéit à l'équation:
Cette équation est appelée équation de Schrödinger
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